Construction d'un pavage

Partie A : décrire un pavage du plan

Voici un pavage du plan.

1. Décrire cette figure avec le plus de détails possibles.
2. Comment pourrait-on la reproduire ? Imaginer des stratégies pour le faire.

Partie B : construction du motif rouge

Toutes les constructions peuvent être reproduites dans le fichier de géométrie dynamique fourni. Dans la partie en haut, tous les outils nécessaires sont disponibles.

Soit \(\text{ABCD}\) un losange dont chaque angle aigu mesure \(60°\).

1. Déduire la mesure de chaque angle obtus.
2. Sur le côté \(\text{[AD]}\), on construit un polygone à l'intérieur du losange.

3. On construit l'image de ce polygone par la rotation de centre \(\text{A}\) qui fait coïncider le côté \(\text{[AD]}\) avec le côté \(\text{[AB]}\). Déterminer l'angle de la rotation qui réalise la construction décrite.

4. Réaliser une construction similaire à partir du côté \(\text{[BC]}\).

5. Colorier le motif rouge, on l'appelle motif élémentaire du pavage.
Pour ce faire, une fois que l'on a construit un polygone en suivant le contour du motif, on peut changer la couleur et l'affichage avec un clic droit puis en choisissant « Propriétés ».
De la même façon, on peut choisir d'afficher, ou de ne pas afficher, certains éléments. Cela est très utile pour ne pas afficher tous les points de construction.

Partie C : construction de la maille

Voici la maille du pavage.

Décrire précisément les rotations qui permettent d'obtenir le motif jaune et le motif vert à partir du motif rouge.

Partie D : construction du pavage

Pour paver le plan, on construit les images de la maille par deux translations de vecteurs bien choisis. Dans la figure suivante sont tracés deux vecteurs qui permettent de paver le plan (ils ne sont pas les seuls).

Réaliser plusieurs translations de la maille, en utilisant chacun des deux vecteurs, ainsi que leurs opposés, leur somme et leur différence.